Координатный луч. координаты. Координатный луч Координаты луча

Данная статья посвящена разбору таких понятий, как координатный луч и координатная прямая. Мы остановимся на каждом понятии и подробно рассмотрим примеры. Благодаря этой статье вы сможете освежить свои знания или ознакомиться с темой без помощи преподавателя.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Для того, чтобы определить понятие координатного луча, следует иметь представление о том, что такое луч.

Определение 1

Луч - это геометрическая фигура, которая имеет начало отсчета координатного луча и направление движения. Прямую обычно изображают горизонтально, указывая направление направо.

На примере мы видим, что O является началом луча.

Пример 1

Координатный луч изображается по той же схеме, но существенно отличается. Мы ставим точку отсчета и отмеряем единичный отрезок.

Пример 2

Определение 2

Единичный отрезок - это расстояние от 0 до точки, выбранной для измерения.

Пример 3

От конца единичного отрезка нужно отложить несколько штрихов и сделать разметку.

Благодаря манипуляциям, которые мы проделали с лучом, он стал координатным. Подпишите штрихи натуральными числами в последовательности от 1 - например, 2 , 3 , 4 , 5 ...

Пример 4

Определение 3

– это шкала, которая может длиться до бесконечности.

Зачастую его изображают лучом с началом в точке O , и откладывают единственный единичный отрезок. Пример указан на рисунке.

Пример 5

Мы в любом случае сможем продолжить шкалу до того числа, которое нам необходимо. Вы можете записывать числа как удобно – под лучом или над ним.

Пример 6

Для отображений координат луча могут использоваться как заглавные, как и строчные буквы.

Принцип изображения координатной прямой практически не отличается от изображения луча. Все просто - прочертите луч и дополните до прямой, придав положительное направление, которое указывается стрелочкой.

Пример 7

Проведите луч в противоположную сторону, дополнив его до прямой

Пример 8

Отложите единичные отрезки по примеру, указанному выше

С левой стороны запишите натуральные числа 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ... с противоположным знаком. Обратите внимание на пример.

Пример 9

Вы можете отметить только начало отсчета и единичные отрезки. Смотрите на примере, как это будет выглядеть.

Пример 10

Определение 4

– это прямая, которая изображается с определенной точкой отсчета, которая принимается за 0 , единичным отрезком и заданным направлением движения.

Соответствие между точками координатной прямой и действительными числами

Координатная прямая может содержать множество точек. Они напрямую связаны с действительными числами. Это можно определить, как взаимно однозначное соответствие.

Определение 5

Каждой точке на координатной прямой соответствует единственное действительное число, а каждому действительному числу соответствует единственная точка на координатной прямой.

Для того, чтобы лучше понять правило, следует отметить точку на координатной прямой и посмотреть, какое натуральное число соответствует отметке. Если эта точка совпадает с началом отсчета, она будет отмечена нулем. Если точка не совпадает с началом отсчета, мы откладываем нужное количество единичных отрезков до тех пор, пока не достигнем указанной отметки. Число, записанное под ней, и будет соответствовать данной точке. На примере, указанном внизу, мы покажем вам это правило наглядно.

Пример 11

Если мы не можем найти точку, откладывая единичные отрезки, следует отмечать также точки, составляющие одну десятую, сотую или тысячную долю единичного отрезка. На примере можно подробно рассмотреть данное правило.

Отложив несколько подобных отрезков, мы сможем получить не только целое, но и дробное число – как положительное, так и отрицательное.

Отмеченные отрезки помогут нам отыскать на координатной прямой необходимую точку. Это могут быть как целые, так и дробные числа. Однако на прямой существуют точки, которые очень сложно найти с помощью единичных отрезков. Этим точкам соответствуют десятичные дроби. Для того, чтобы искать подобную точку, придётся откладывать единичный отрезок, десятую, сотую, тысячную, десятитысячную и другие его доли. Одной точке координатной прямой отвечает иррациональное число π (= 3 , 141592 . . .) .

Множество действительных чисел включается в себя все числа, которые можно записать в виде дроби. Это позволяет выявить правило.

Определение 6

Каждой точке координатной прямой соответствует конкретное действительное число. Разные точки определяют разные действительные числа.

Это соответствие однозначно –каждой точке соответствует определенное действительное число. Но это работает также и в обратном направлении. Мы также можем указать определенную точку на координатной прямой, которая будет относиться конкретному действительному числу. Если число не является целым, то нам необходимо отметить несколько единичных отрезков, а также десятых, сотых долей в заданном направлении. Например, числу 400350 отвечает точка на координатной прямой, в которую из начала отсчета можно попасть, отложив в положительном направлении 400 единичных отрезков, 3 отрезка, составляющих десятую долю единичного, и 5 отрезков – тысячную долю.

РАЗДЕЛ 1

СЧЕТ, ИЗМЕРЕНИЯ И ЧИСЛА

§ 3. КООРДИНАТНЫЙ ЛУЧ

Запишем натуральный ряд чисел:

1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; ...

Числу 1 поставим в соответствие отрезок любой длины (рис. 41). Будем считать этот отрезок единичным отрезком. Его длина равна 1 ед. Тогда числу 2 соответствует отрезок, в два раза больше единичный отрезок, числу 3 - в три раза больше за единичный отрезок и т. д. Вообще, каждому натуральному числу n будет соответствовать отрезок, который в n раз больше за единичный отрезок.

На луче ОХ от его начала В последовательно отложим единичный отрезок (рис. 42), затем отрезок, что соответствует числу 2, числу 3 и т. д.

Можно ли на луче отложить самый длинный отрезок, который соответствует натуральному числу? Нет.

Разместим натуральный ряд чисел возле точек на луче ОХ так, как показано на рисунке 43. В конце его изображения поставим стрелку. Она, так же, как и три точки в записи натурального ряда, показывает, что в этом направлении натуральные числа возрастают бесконечно. Считают, что стрелка указывает направление отсчета, а В начале луча соответствует число 0.

Посмотрите на рисунок 43. Вы видите, что любые две соседние точки на луче ОХ являются концами отрезка, равной единичному отрезку. Действительно: 2 - 1 = 1 (ед.),..., 7- 6 = 1 (ед.), ... Это означает, что на луче ОХ введена шкала, то есть указано начало отсчета, направление отсчета и деление. Цена деления составляет 1 ед. и равна длине выбранного единичного отрезка. Для удобства концы деления на такой шкале зображатимемо черточками (рис. 44).

Луч, на котором введена шкала, называется координатным лучом.

Координатный луч является примером бесконечной шкалы.

На рисунке 45 точке D соответствует число 5 на координатном луче ОХ. Это число называют координатой точки D.

Кратко записывают: D (5). Читают: «Точка D с координатой 5 ».

Что показывает координата точки D на координатном луче ОХ? Количество единичных отрезков содержит отрезок OD , или, что то же, расстояние от точки D до начала О координатного луча ОХ.

Обратите внимание:

1) каждой точке на координатном луче соответствует единственная координата;

2) чем больше координата точки, тем больше расстояние от нее до начала координатного луча.

Задача. Найдите расстояние между точками А(2) и В (7).

Обратите внимание:

чтобы найти расстояние между двумя точками по их координатам, нужно от большей координаты вычесть меньшую координату.

Таким образом нередко действуют на практике. На рисунке 46 вы видите, как находят длину ключа с помощью линейки с отломанными краями.

Линейка с делениями из вашего принадлежностей (рис. 47) является примером конечной шкалы. На ней цена большого деления равна 1 см, а малого - 1 мм.

Вам приходилось встречать и другие шкалы: термометр для измерения температуры воздуха (рис. 48); спидометр, показывающий скорость автомобиля (рис. 49); часы со стрелками (рис. 50).

Есть часы на рисунке 51 примером шкалы? Нет. На нем нет делений.

Узнайте больше

1. Слово «шкала» происходит от итальянского scala , что означает «ступеньки» или «линейка»,

2. Одной из первых шкал считают солнечные часы (рис. 52). Это расположенный на ровной поверхности циферблат, на контуре которого размещается 12 штрихов (по количеству знаков зодиака), а в центре - вертикальный стержень. Вслед за Солнцем, переміщалось небосводу, перемещалась и тень от стержня, показывая время. Основным недостатком солнечных часов было то, что он «работал» только днем и только в солнечное время.

РЕШИТЕ ЗАДАЧИ

50. На рисунке 53 назовите:

1) начало координатного луча;

2) отрезок, что соответствует единичном отрезке;

3) координаты точек В, С, D .

81.По показателям термометра для измерения температуры воздуха на рисунке 54, а-в установите, какой была температура воздуха в течение дня.

82. Назовите координаты трех точек, расположенных на координатном луче правее точки А(5), и координаты трех точек, лежащих левее этой точки.

83. По показателям спидометра на рисунке 55, а-в установите, с какой скоростью двигался автомобиль.

84. Начертите координатный луч. За единичный отрезок примите длину одной клетки тетради. Отметьте на этом луче точки А(0), В(2), С(5), D (8), К(9), Е(12). Назовите все полученные отрезки и найдите их длины.

85. Начертите координатный луч. За единичный отрезок примите длину одной клетки тетради. Отметьте на этом луче точки М(1), N(4), F (6), К(7), L (10), P (11). Назовите все полученные отрезки и найдите их длины.

86.Начертите координатный луч, единичный отрезок которого равен трем клеточкам тетради. Отметьте на этом луче точки М(1), N (3), К(4), L (5).

87. Начертите координатный луч, единичный отрезок которого равен 1 см. Отметьте на этом луче точки А(0), В(2), C (3), D (5).

88. Определите координаты точек, изображенных на рисунке 56.

89. Определите координаты точек, изображенных на рисунке 57.

90. Обозначьте единичный отрезок и определите координаты точек, изображенных на рисунке 58.

91. Обозначьте единичный отрезок и определите координаты точек, изображенных на рисунке 59.

92. Запишите координаты точек, находящихся на расстоянии;

1) 2 ед. от точки А(6); 3) 3 ед. от точки С(2);

2) 4 ед. от точки В(9); 4) 5 ед. от точки N (12).

93. Запишите координаты точек, находящихся на расстоянии:

1) 1 ед. от точки М(7); 2) 8 ед. от точки К(8).

94. Найдите расстояние между точками:

1)А(4) и B (9); 2)С(2) i D 12); 3) М(23) и N (45).

95. Найдите расстояние между точками:

1) A (6) i N (11); 2)В(14) и М(20); 3) С(34) и K (52).

96. Начертите в тетради отрезок длиной 14 см. Над одним его концом поставьте число 0, а над вторым - 14. Разделите отрезок на 7 равных частей и обозначьте их точками. Укажите числа, соответствующие этим точкам.

97. На координатном луче (рис. 60) обозначены числа 1 и а. Перемалюйте рисунок в тетрадь и с помощью циркуля обозначьте на этом луче точки, соответствующие числам а+ 1; а - 1; а + 2; 2а.

98. Кузнечик скачет вдоль координатного луча попеременно: на 6 ед. справа и на 4 ед. слева. Сможет ли он за несколько прыжков из точки с координатой 2 попасть в точку: 1) с координатой 10; 2) с координатой 11? Ответ объясните.

99. Улитка за день поднимается на 4 м вверх, а за ночь спускается на 2 м вниз. За сколько дней она поднимется на вершину дерева, высота которого 10 м?

ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ

100. Конечные пункты автобусного маршрута - А и Б. Если ехать от А до Б, то остановка «Школа» - четвертая, а если ехать от Б до А, то остановка «Школа» - девятая. Сколько всего остановок на автобусном маршруте?

ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ

102. Вычислите устно:

1)18+17; 2)25 - 12; 3)9∙9; 4)30:2;

16 + 9; 81 - 41; 7∙11; 44:4.

103. Вычислите:

1) 950: 25 + 960: 60; 2) (4528 - 4239) : 17 - 12.

104. Найдите два числа на циферблате часов, если:

1) числа расположены напротив друг друга и их сумма равна 12;

2) числа расположены рядом друг с другом и их сумма равна 9.

105. Составьте задачу по такому выражению: 2 ∙ 150 + 3 ∙ 475.

Тема: Координаты на луче.

Цели урока:

• сформировать способность к определению координаты на числовом луче с заданным единичным отрезком;
• сформировать способность записывать координаты любых точек;
• тренировать навык к грамотному построению координатных лучей.

Ход урока

I. Самоопределение к деятельности.

Дети работают стоя.

– Настроимся на работу. Закройте глаза. Погладьте себя по голове, по лицу, пожелайте себе мыслить ясно, запоминать крепко и быть внимательными, как разведчики. Крепко обнимите и полюбите себя. Откройте глаза и повторяйте за мной:

Я очень хочу учиться!
Я готов к успешной работе!
Я замечательно работаю!

– С чем вы познакомились на предыдущих уроках? (Шкалы. Числовой луч.)

– Мы сегодня продолжим эту интересную работу.

– Нам предстоит подняться еще на одну ступеньку Лесенки Знаний, чтобы узнать новое понятие, связанное с числовым лучом.

II. Актуализация знаний и мотивация.

а) – Дома вы должны были построить числовой луч и на нем отметить результаты измерения длин сторон подобного многоугольника, расположив их в порядке возрастания.

Например: стороны многоугольника равны:

3 см, 6 см, 9 см, 12 см, 15 см, 18 см, 21см, 24см, 27см.

– Покажите: что у вас получилось?

У кого возникали затруднения?

(Дети показывают листочки с заданием. )

– Что интересного заметили? (Числа, кратные 3.)

– Какие знания вы использовали при построении числового луча?

(1. Число 0 – начало луча. 2. На числовом луче откладывали равные единичные отрезки. 3. Расстояние от каждой точки числового луча до начала отсчета равно соответствующей этой точке числу.)

– Какие действия позволяет выполнить числовой луч?

(Изобразить любое число; складывать, вычитать и сравнивать числа).

– Тогда изобразите на своем числовом луче смешанное число .

(Дети садятся, 1 ученик показывает на доске или на демонстрационном образце.)

– Что для этого нужно?

(Взять 15 целых единичных отрезков, а 16-ый разделить на 3 равные части, но взять лишь 1 из трех.)

б) – А сейчас я дам вам “ключ”, чтобы узнать новое понятие, стоящее на следующей ступеньке лесенки Знаний.

– Вы для этого на своем числовом луче проставьте буквы, соответствующие числам данной таблицы и прочитайте получившееся слово:

– Итак, на следующей ступеньке Лесенки Знаний “появляется” новое понятие – “координата”, числовой луч смысл которого мы сейчас должны выяснить. шкала

в) – Я предлагаю вам выполнить следующее задание на индивидуальных листочках:

“За 1 минуту определить и записать координаты точек А, В, С, D в данном прямоугольном окошечке”. Можно изобрести свой способ записи…

– Кто выполнил задание – встать!

Какие записи у вас получились? Показать на доске…

(Несколько учащихся показывают свои варианты.)

– Как же так: задание было одно, а варианты записей получились разные?

Какими знаниями вы руководствовались при записи?

III. Постановка учебной задачи.

(Дети работают стоя.)

– Чем это задание отличается от предыдущего, когда вы отмечали разные числа на числовом луче? (Не требовалось определять и записывать координаты точек.)

– Так в чём именно возникло затруднение? Почему записи получились разными?

(Не поняли значение слова “координата”; не знали, как грамотно записывать; не успели…)

– Какова же цель нашего урока? (Или чему мы должны научиться?)

(Уточнить значение понятия “координата” точки; научиться определять и записывать координаты любых точек).

– Сформулируйте тему урока… (появляется запись на доске) : Координаты на луче.

– Молодцы!

– А на следующем этапе нашего урока мы и уточним значение понятия “координата” и научимся грамотно записывать координаты любых точек.

IV. “Открытие” детьми нового знания.

а) – Итак, кто или что является вашим первым помощником при затруднениях?

(Словарь, учебник, учитель, знания с прошлых уроков…)

– Слышали ли вы фразу: “Оставьте свои координаты”? Что она обозначает?

(Оставить свой адрес. Дать номер телефона.)

– Значит, речь идет …о чем?…(О местоположении.)

– А что же используют для записи адреса? (Число).

– Так что же такое “координата” точки?

(Это число, показывающее местоположение точки на числовом луче, т. е. “адрес” точки.)

– Итак, со значением слова “координата” выяснили. Желающие могут на перемене проверить по толковому словарю! (Толковый словарь лежит на столе учителя).

б) – Вернемся к нашему заданию: “Определить и записать координаты точек А, В, С, D”.

– Кто справился верно с заданием, помогите тем, кто допустил ошибки в нем: объясните им, что вам помогло безошибочно выполнить эту работу? (Высказывания учащихся).

– Действительно, в математике существуют строгие правила, есть свои условные обозначения.

– Посмотрите внимательно на опору: Как здесь записана координата точки А?

(В скобках, рядом с обозначением точки.)

– Что показывает число в скобках?

(Количество единичных отрезков от начала отсчета до точки А.)

– Внимание! Буквенное обозначение точки – над лучом, а соответствующее число – под ним!

– Исправьте в своих записях ошибки те, кто их допустил.

(Хоровой ответ учащихся с помощью опоры.)

(Дети садятся и продолжают работу сидя.)

в) – Проверьте себя по учебнику: с. 61 – чтение вывода про себя…

– Так что же такое “координата точки”?

– А почему координата вашей точки В равна (8)?

(Именно это число показывает расстояние от т. В до начала луча.)

– Что нового вы узнали про числовой луч из вывода в учебнике?

(Он ещё называется координатным лучом).

– Почему его еще и так называют?

(Так как каждой точке числового луча соответствует число, равное координате этой точки).

– Лесенка Знаний пополнилась еще одним дополнением:

Физминутка! (Стоя.)

– Молодцы! Вы замечательно трудитесь. И чтобы еще немного подбодрить себя, – снова небольшой аутотренинг – закройте глаза, повторяйте за мной:

Я здоров и крепок духом!
Я магнитик для успеха!
Я доверяю себе и жизни!
Я достоин всего самого лучшего!

V. Первичное закрепление.

Задание 4, с. 62

а) Выполняется фронтально на доске с комментированием. Если будут желающие, – “по цепочке”.

б) Выполняется на доске “по цепочке”, с комментированием:

в) Выполняется в паре со взаимопроверкой (1 пара работает у доски) :

Задание 2 (б), с. 61 – выполняется устно, фронтально.

– Это задание подготовит нас к изучению следующей темы.

1) 15-1=14 (единичных отрезков) расстояние от столовой до телефона;

2) 14 · 5 км=70 (км) расстояние от столовой до телефона.

(Если единичный отрезок равен 5 км, то расстояние от столовой до телефона равно 14 единичным отрезкам, либо 70 км.)

VI. Самостоятельная работа с самопроверкой по образцу.

Задание 3 (а, б), с. 62 – по вариантам, самостоятельно:

– Кто закончил, встать! Проверим по образцу.

а) Образец на доске :

– Кто допустил ошибку, объясняет, в чем именно (где?) и почему?

Над чем еще стоит поработать?

Дети, допустившие ошибки, работают самостоятельно на следующем этапе урока, выполняя подобное задание, например, задание 4(в), с. 62.

VII. Включение в систему знаний и повторение.

Учащиеся, допустившие ошибки в самостоятельной работе, работают сами (задание 4 (в), с. 62),

выполняя аналогичное задание. Затем сверяют по эталону, либо по образцу (на индивидуальных листочках). Выполнив свое задание, подключаются к работе класса.

А в это время весь класс выполняет фронтальную работу.

– Решим задачу на конкретное применение новых знаний о координатном луче:

Задание 7, с. 62 – устно, фронтально, либо в паре. Чтение задачи вслух 1 учеником.

– Что известно в задаче? Куда двигался автомобиль? (Слева направо.)

– Что нужно узнать? Как? (Точку отправления. Из конечной точки В (17) вычесть 6 ед. отрезков.)

– Так из какой точки выехал автомобиль? (Из точки А (11.)

– Ответьте на 2-ой вопрос задачи. (Справа налево на 3 е.)

Задание 9 (б, в, г, д), с. 63 – групповая работа:

– Повторим решение задач с использованием формул пути, стоимости, работы.

– Капитаны команд запишут буквенное выражение на доске и докажут свой выбор.

1гр.: б) (х+х3):7;

2гр.: в) (у:5)12;

3гр.: г) (с:20)d;

4гр.: д) с-(а4+в).

VIII. Рефлексия деятельности.

(Дети работают стоя.)

– Назовите ключевые слова урока…

– Где в жизни вам могут пригодиться знания сегодняшнего урока?

(При решении задач, определении адреса чего-либо, кого-либо и т. д.)

– А еще наш урок подготовил вас к следующему, на котором вы научитесь находить расстояние

между точками числового луча по их известным координатам.

* Молодец! Замечательно!
*Хорошо, но мог бы и лучше!
*Старайся! Будь внимательным!

Закройте пальчиком ту снежинку, с высказыванием напротив которой вы согласны.

– Как бы вы оценили работу всего класса?

(“Ударно” – руки вверх “в замок”, “Можно было лучше” – руки за спину).

Домашнее задание: Задание 5, с. 62 – творческого характера (устно);

Задание 8, с. 62; Задание 12 (а) или 13, с. 63-64 (1 по выбору).

Подумать каждому: над чем ему еще поработать?